芯片与武器组合的概率分布

芯片与武器组合的概率分布

> 编程

如果你用某套系统来计算对对手造成伤害的最佳物品（芯片和武器）组合，那你多半也有一套（属于自己的）办法来估算所研究组合的伤害：如果你比较悲观，可能会取每件物品最小伤害之和；如果你比较中立，也许会取平均伤害之和……

本页的目的，是介绍一些概率概念，让你能更细致地研究这样一套“combo”（组合）的伤害概率。

警告：本文需要一点数学功底。至少要有高中的积分知识，最好还有一点概率知识。

目录

> 1. 动机 >2. 使用芯片或武器时的随机取值 >3. 直接方法 >4. 连续方法 >    4.1. 基本原理 >    4.2. 单件物品对应的概率密度 >    4.3. 卷积 >        4.3.1 引入：离散情形 >        4.3.2 连续情形 >        4.3.3 几条性质 >    4.4. 在 LeekScript 中的实际计算 >        4.4.1 Leek Wars 中的组合：场景带来的简化 >        4.4.2 符号计算：多项式 >        4.4.3 分段定义的函数 >        4.4.4 卷积 >        4.4.5 暴击：两个矩形之和 >5. 固定护盾与固定伤害物品的处理：混合分布 >    5.1. 固定护盾：0 处的原子 >        5.1.1 混合分布 >        5.1.2 0 处的狄拉克分布 >    5.2. 固定伤害物品与暴击：其他位置的原子 >        5.2.1 暴击与原子 >        5.2.2 任意一点处的狄拉克分布 >    5.3. 在 LeekScript 中的计算 >6. 分布函数与概率工具 >    6.1 定义与计算 >    6.2 用法 >7. 备注

动机

算出一套组合造成的平均伤害并不难。不过你可能想要比平均值更精确的信息：如果你想保证至少打出多少伤害（比如为了有很大机会击杀），平均值帮不了你多少。

举个例子：你的对手只剩 430 点生命值，有 155 点固定护盾，而你有 400 点力量、没有敏捷（因此不可能打出暴击）。你挑出了两套可以击杀对手的组合：用三次犀牛，或者用两次步枪。

确实，三次犀牛造成的最大伤害为： 3 * (64 * (1 + 400/100) - 155) = 495 而两次步枪造成的最大伤害为： 2 * (79 * (1 + 400/100) - 155) = 480 两种情况都超过了 430，而且TP消耗相近（假设你有 15 点，并且手上拿着犀牛）。

平均伤害用同样的方法计算，犀牛和步枪都得到 450。从平均值只能推出：犀牛和步枪杀死对手的概率都超过 50%。但这并不能帮我们挑出更可能致命的那一套组合。

所以，要想把击杀对手的概率最大化，我们需要更精确的信息。

> 剧透：这里是步枪的机会更大，击杀概率 94.4%，而犀牛只有 90.4%。

这个例子比较简单，看上去也许没多大意思，甚至相当直观。而下面介绍的工具能处理更多样的组合，还能把暴击概率考虑进来——暴击对伤害概率的影响有时相当难以捉摸。

最后要说的是，这套概率分析还有别的用途（比如治疗：可以在“治疗量不超过缺失生命值”这类条件下寻找最佳治疗组合）。我在这里只是介绍工具，怎么用就看你了。

使用芯片或武器时的随机取值

每次使用武器或芯片时，游戏对所有效果只做一次且仅一次随机取值（在 0 和 1 之间）。每个效果的数值由下式给出： valeur = valeur_min + tirage * (valeur_max - valeur_min) 其中 tirage 就是取到的那个 0 到 1 之间的数。

这个随机取值是按均匀概率在 0 和 1 之间抽取一个浮点数：没有哪个浮点数比其他浮点数更容易出现。

直接方法

使用一件物品时，我们可以算出每个可能结果出现的概率：毕竟取值是均匀的，所以每个结果出现的概率都相同（两端的极值结果除外，它们的概率其实只有其他结果的一半）。 确实，只要四舍五入前的结果落在 k-0.5 和 k+0.5 之间，数值 k 就会出现；最小值和最大值除外：取值不可能低于最小值，所以四舍五入后得到最小值的浮点数少了一半（只有 k 到 k+0.5 之间的那些），最大值同理（这次是取值不可能高于它，道理一样）。

这样，在 400 力量下使用火花芯片，伤害会落在 40 到 80 之间，因此这两个值之间的每个整数概率都是 1/40 = 0.025（40 和 80 除外，它们的概率是 0.0125）。

而如果想连着用好几件物品，理论上也可以算出每个可能结果的概率。 例如，在没有力量、没有敏捷、目标也没有护盾的情况下，对于由两枪手枪组成的组合，要算出造成 33 点伤害的概率，可以找出所有凑成 33 的方式，再把每种方式的概率加起来。 于是计算过程大致如下：

• 第一枪可以造成 15 点伤害（概率 0.1，这是手枪的最小结果，所以它的概率只有 0.1，而其他结果是 0.2），第二枪造成 18 点（概率 0.2）。这种情况发生的概率是 0.1 * 0.2 = 0.02。
• 或者：第一枪造成 16 点伤害（概率 0.2），第二枪造成 17 点（概率 0.2），发生的概率是 0.2 * 0.2 = 0.04
• 或者：第一枪造成 17 点（概率 0.2），第二枪造成 16 点（概率 0.2），发生的概率是 0.2 * 0.2 = 0.04
• 或者：第一枪造成 18 点，第二枪造成 15 点，发生的概率是 0.2 * 0.1 = 0.02
• 所有可能都列完了，把它们加起来就得到结论：造成 33 点伤害的概率是 p = 0.02 + 0.04 + 0.04 + 0.02 = 0.12（也就是 12% 的概率）。

你大概也猜到了：就算有更快的办法，这个方法还是很费劲。毕竟我挑的这两件物品伤害范围都很小，而且没给我的韭葱加力量，就是为了不用处理太多情况。想象一下（或者算一算！）用 500 力量抡斧头时会有多少种可能的数值吧！

所以这个方法在实践中并不好用。从算法上说是做得到的，但只要物品一多、或者伤害范围一大，开销就可能很高。

连续方法

要应付数量如此庞大的可能取值，有一个办法：假装随机取值可以是 0 到 1 之间的任意实数，而不只是浮点数。严格来说这并不对，但考虑到 0 到 1 之间可用的浮点数非常多（受编码方式所限，它必然只有有限个，但数量依然十分可观），两种情形之间的差别其实很小。

我们要用的工具叫作密度函数：这种函数用来描述一个在实数集（或其中一部分，这里是一个区间）里取值的随机量的行为。

> 给爱较真的数学党：好吧好吧，严格来说还得加上几个条件……后面我会讲带原子的分布，至于奇异概率分布我压根不会提，反正嘛……在这里它意义不大。

基本原理

好……先来一点数学，把这些概念引进来。

概率密度是一个处处为正、积分等于 1 的函数 f。它按下面的方式描述随机变量 X（这里就是一套组合造成的伤害）的行为：

> X 取值落在两个数 a 和 b 之间的概率，由 f 在 a 到 b 上的积分给出。换句话说，!密度的定义

示例（这里用的是无属性时两次火花组合对应的密度）：

!两次火花的组合

注意函数 f 确实处处为正，而且它在两个端点之间的积分确实等于 1。

算出 19.5 到 25.5 之间的积分，我们就知道这套组合有 0.574…（也就是 57.4%）的概率造成 19.5 到 25.5 点伤害，因此四舍五入后就是 20 到 25 点伤害。

对所用函数的这两个条件，可以这样解释：

• 密度函数绝不能取负值，否则就意味着“结果落在实数的某个子集里”的概率是负的，这毫无意义（概率永远在 0 和 1 之间）；
• 密度函数的积分必须等于 1，因为“得到一个结果”（不对结果附加任何条件）的概率正是 1（你愿意的话也可以说 100%）：随机取值总会给出一个结果！

如果我们有办法表示某套组合对应的这样一个函数（这正是本文后面要做的事），就能从中推出不少信息，例如：

• 恰好造成 d 点伤害的概率，可以通过计算密度函数在 d-0.5 到 d+0.5 上的积分得到，因为这两个值之间的所有数四舍五入后都等于 d：

!组合取到精确值

• 至少造成 d 点伤害的概率，则通过计算 d-0.5 到最大值之间的积分得到：

!组合至少造成 d 点伤害

• 最有可能出现的伤害区间，就是函数取值最高的那些地方：造成 24 点左右伤害的概率，比造成 18 点或 30 点左右伤害的概率大得多。

所以思路是：不再用“每一个可能取值加上对应概率”这种处理起来很笨重的方式来表示一个概率分布，而是用一个能从中推出各种信息的函数来表示。 而在 Leek Wars 的概率问题里，这些函数操作起来其实相当简单（见下文的实践部分）。

单件物品对应的概率密度

好了，道理讲得挺好，可在我们关心的情形里（也就是游戏中的伤害概率），这些密度函数到底怎么找？

先从单件物品说起，暂时不考虑韭葱的属性（敏捷、力量、护盾）。

既然物品伤害范围内的所有浮点数（至少是所有可能出现的浮点数……）概率都相同，我们就用矩形密度函数来表示物品：

!火花的矩形

注意矩形的高和宽是关联的：积分必须等于 1，所以矩形的高度由物品的伤害数值决定： hauteur = 1/(valeur_max - valeur_min) 对于没有力量、没有敏捷、对面也没有护盾的火花，这就是 1 / (16 - 8) = 1/8 = 0.125，在上面的图里也能看到这一点。

把力量考虑进来并不麻烦：只要算出可能的伤害范围，再画出对应的矩形即可。于是，同样是火花，但带 400 点力量时，最小伤害是 40，最大伤害是 80，因此矩形从 40 延伸到 80，高度为 1/40 = 0.025：

!带力量的火花矩形

要在 LeekScript 里操作这类对象，我们需要存两个数据（比如最小值和最大值，因为矩形的高度可以由它们推出）。不过后面会发现，能操作一类更一般的函数会更有用。所以关于 LS 实现的思路，我留到后面再讲。

注意，固定伤害的物品没法用矩形表示。如果你没有暴击机会，那没问题：伤害是固定的，单独处理就行。固定伤害但有暴击机会的情况，后面会讲。

卷积

维基百科的《卷积》条目

于是问题来了：如果我连着用好几件物品，怎么从每件物品各自的密度算出整套组合对应的密度函数？

引入：离散情形

为了举例，我们先回到离散情形，仍然用前面那套两枪手枪的组合（没有力量、没有敏捷，目标也没有护盾）。

如果我把一枪能打出的各个数值的概率画在图上，得到的是这样：

!手枪的离散分布

（注意：我在这里暂时回到了逐个取值列出概率的表示法，这并不是密度函数。）

如前所述，造成 33 点伤害的概率等于取到 (15 ; 18)、(16 ; 17)、(17 ; 16) 和 (18 ; 15) 这几组数值的概率之和。

于是可以把这个计算画成下面这种图：

!离散卷积

第一张图给出第一枪每个数值的概率，其中黑色的那些太大了，凑不出 33 这个和。第二张图给出的则是 (33 - 第二枪结果) 这些数值的概率：这样一来，如果取值让第一枪打出 15、第二枪打出 18，那么两张图上对应的点就正好上下对齐（都在横坐标 15 处）。

于是计算时，只要把上下对齐的两个值相乘再求和：

• 黑点在另一张图上没有与之对齐的点，忽略它们；
• 红点是对齐的，一个概率为 0.1，另一个为 0.2，所以对应的概率是 0.1 * 0.2 = 0.02；
• 橙点也是对齐的，概率分别为 0.2 和 0.2，所以对应的概率是 0.2 * 0.2 = 0.04；
• 黄点同理，概率为 0.04；
• 绿点同理，概率为 0.02；
• 最后求和即可：p = 0.02 + 0.04 + 0.04 + 0.02 = 0.12

第一张图是直接画出来的，那第二张呢？它可以通过下面的几何操作得到：如果想要的和是 S（这里是 33），就先把第一张图关于纵轴作对称，再把得到的图向右平移 S 个单位。

!离散卷积的对称

!离散卷积的平移

连续情形

那么概率密度的情形呢？同样的方法就能解决我们的问题。只不过现在要把它改写成针对密度、而不是针对离散分布的说法，原理还是一样的。

取两个随机变量 X 和 Y，密度函数分别为 f 和 g，再取一个数 s，若要求 X+Y 取值为 s 的概率，做法如下：

• 先作 f 关于纵轴的对称，再把它平移距离 s，于是得到函数 t -> f(s-t)；
• 再计算 f(s-t)g(t) 在全体实数上的积分（或者只在这个乘积不为零的那些点上积分，结果一样）。

例如，取下面画出的两个密度函数，并令 s = 7：

• 从这里出发

!连续卷积1

• 作 f 关于横轴的对称，再把得到的函数向右平移 7

!连续卷积2

• 计算 g 与所得函数之乘积的积分（此时可以只看区间 [1,2]，因为在其他地方两个函数总有一个为零）。

当然，结果取决于我们想要的和 s。于是把“对每个数 s 给出上述计算结果”的那个函数称为 f 与 g 的卷积，记作 f * g。

可以给出它的公式：!卷积公式 不过在实践中真正有用的，还是上面那套构造。

到目前为止，我们只说明了怎么算出 f * g 在某一点 s 的值。如果想把 f * g 当作这两个随机变量之和的密度函数来用，就需要一个对任意 s 都成立的表达式。

根据所考虑函数的形状，这一步可能或难或易。在这里，我们要处理的函数都比较简单，但有一个特点：它们是分段定义的。在前面的例子中，可以这样做：

• 若 s

这里最关键的性质是（前面多少已经说过了，现在把它讲清楚）：

> 设 X 和 Y 是两个相互独立的实随机变量，分别由密度 f 和 g 描述。那么它们的和 S = X + Y 也是一个有密度的随机变量，密度为 f * g。 （借助分布的概念，这一点还能推广到混合分布，见后文，不过这里我们主要关心的还是密度。）

卷积有几条可能派得上用场的性质。

> 它是可交换的：f * g = g * f。

所以你想按什么顺序做卷积都行，无所谓。

> 它对加法表现良好：f * (g+h) = (f * g) + (f * h)。

所以可以把函数拆成若干个简单部分之和，对每一部分分别做卷积，再把结果加起来。

> 它对常数倍表现良好：f * (a x g) = a x (f * g)。

所以可以把乘性常数从卷积里“提”出来。

> 它是可结合的：(f * g) * h = f * (g * h)。

有了结合律和交换律，就可以按任意顺序一个接一个地做卷积（在我们的情形下，这相当于说一套组合的伤害概率与使用物品的先后顺序无关——当然，前提是中途不使用增益）。

在 LS 中的实际计算

Leek Wars 中的组合：场景带来的简化

先说一个关键的事实（因为它能大大简化计算）：我们每件物品的概率密度都是矩形函数，而若干个这类函数的卷积，必然是一个分段定义、且每一段都是多项式的函数。

更确切地说，k 个矩形的卷积总是由次数不超过 k-1 的多项式段组成。

此外，当我们往组合里逐个添加物品时，做的就是与矩形的卷积，而这种卷积算起来相当省事：在前面介绍的构造里，可以根据想要的和 s 去“移动”矩形，于是要算的积分永远只是已算出的密度在两个依赖于 s 的边界之间的积分，再乘上矩形的高度：

!三次火花的卷积

这里的例子中，g 是无力量时两次火花得到的密度函数，矩形则对应第三次使用同一张芯片。

因此，针对 Leek Wars 的情形，我们需要：

• 能操作多项式，其中包括计算给定多项式的原函数；
• 能操作分段定义的函数（加法、乘以常数、原函数与积分）；
• 能计算一个分段多项式函数与一个矩形的卷积（这样就能不太费劲地解决问题）。

符号计算：多项式

这里我只讲大原则，不提供现成的实现。你可以按自己喜欢的方式来改写（想搞面向对象就写一个 Polynome 类，不想的话就直接操作数组，或者用任何你觉得合适的做法）。

要表示一个多项式函数 f(x) = a_n * x**n + ... + a_1 * x + a_0，只需存下它的系数。于是可以用数组 [a_0, a_1, ..., a_n] 来表示 f。

在此基础上，实现那些有用的数学运算并不难：

• 要把两个多项式 f(x) = a_n * xn + ... + a_1 * x + a_0 和 g(x) = b_p * xp + ... + b_1 * x + b_0 相加，只要把它们的系数相加即可（注意，f 和 g 的次数不一定相同）：

f + g 用形如 [a_0 + b_0, ..., a_p + b_p, a_(p+1), ..., a_n] 的数组表示（这里我取了 `p

计算卷积时得到的函数是分段定义的：因此需要在 LS 里表示这类函数。为此可以存一个分段的列表（在我们的情形里每段都是多项式），并带上各自有效定义域的最小值和最大值。同样，做法有好几种（面向对象、直接用数组……），我这里只讲需要能做到哪些操作：

• 两个分段定义的函数相加：理论上没什么难的，但实际做起来可能有点烦人……主要是要找出新函数的分界点（大致就是相加的两个函数各自分界点的并集），然后在这样划出的每个区间上把对应的多项式加起来；

• 乘以常数：把每一段都乘以这个常数就行，没有难度；

• 只要你会对每一段求原函数，整体求原函数也相当容易（分段定义函数的原函数仍是分段定义的函数，分界点相同，每一段由若干积分之和再加上原函数各段的一个原函数给出……自己动手算几个例子吧！）；

• 计算这种函数的平移，就是对每一段分别求平移，同时别忘了把分界点也一起平移。

最后，难点就在这里：必须能计算这样一个函数与一个矩形的卷积。

卷积

如果前面这些你都写好了，工作已经完成了一大半。计算分段多项式函数与矩形的卷积，难点主要在于确定结果函数的分界点。

举一个仍然比较简单的计算例子（至少是开头部分……）：已有两次火花的概率密度 g，现在再加一枪手枪（没有力量），它的密度是矩形 f。我们一步步算出 2 次火花 + 1 枪手枪这套组合对应的新密度 g * f（写成 f * g 也一样）：

• 若 s

暴击其实算不上什么难题。事实上，一件可能打出暴击的物品，其概率密度由两个矩形组成。

更确切地说：考虑一件暴击概率为 p 的物品。设 f 是这件物品在没有暴击机会时对应的矩形函数，最小值为 a，最大值为 b。那么考虑暴击后的概率密度就是 (1-p)f + pg，其中 g 是最小值为 CRITICAL_FACTOR * a、最大值为 CRITICAL_FACTOR * b 的矩形。

而它与某个密度函数 h 的卷积可以写成： !暴击公式 于是只要做两次 h 与矩形的卷积，再把两个分段定义的函数加起来就行了。

固定护盾与固定伤害物品的处理：混合分布

到目前为止，我还没讲对手有护盾时会怎样。百分比护盾完全不成问题，它只是给伤害加了一个乘数，和力量一样，处理方式也一样（矩形会更靠近 0、幅度更小，仅此而已）。固定护盾就真的麻烦了。

因为它会逼我们去考虑这样一种概率：某个确切的数值出现的概率不为零。 对不熟悉的人说明一下：是的，乍看有点奇怪，但在概率密度的框架下，一个确切数值出现的概率永远是……零。我在介绍这个工具时说过，要得到组合造成 a 到 b 点伤害的概率，用的是密度从 a 到 b 的积分。而在我们关心的情形里，组合四舍五入后造成 s 点伤害的概率，可以取 s - 0.5 到 s + 0.5 之间的积分。但在四舍五入之前，正好落在某个确切和上的概率，是从 s 到 s 的积分……也就是恒为 0。

打个比方：如果我给你一块木板、一把锯子和一把卷尺，让你锯出 50 厘米长的一段，你（只要手不太差）会得到一块大约 50 厘米的木板。但如果换一把更精密的量具，你这块木板有没有可能正好是 50 厘米？精确到毫米呢？精确到微米呢？除非你是锯木大师，否则只要我量得够细，总能找出一点偏差。这里的道理是一样的：我可以有非零的概率在四舍五入后命中某个值，但不考虑四舍五入的话，一点机会都没有。

固定护盾：0 处的原子

然而，固定护盾偏偏会带来一个讨厌的后果：它让 0 这个确切数值有了非零的出现概率。如果我用一次火花（没有力量）去打一个戴着头盔（没有抗性）的对手，我很可能打出 0 点伤害。要想打出（非零的）伤害，游戏的随机取值必须给出 15.5 到 16 之间的伤害，四舍五入成 16，再扣掉护盾后变成 16 - 15 = 1。其他所有取值下，伤害都是 0。

所以我们得处理这些“造成 0 点伤害”的非零概率，而光靠概率密度是做不到的：不存在哪个密度函数能让它从 0 到 0 的积分非零。

> 给数学党和物理党：是的，我接下来要讲狄拉克分布，但它并不是一个函数。

混合分布（离散部分 + 由“密度”描述的部分）

所以，我们要处理的概率分布由一个密度函数、外加某些数值上的概率共同给出（尤其是因为护盾而出现的零，不过我们会看到固定伤害的武器也会造成同类现象）。

> 如果某个概率分布在点 a 处的概率不为零，我们就说这个分布在 a 处有一个原子。

一般来说，可以把一个概率分布拆成几部分（我略过需要验证的那几个假设……这里没问题）：一个离散部分、一个由密度描述的部分，还有一个跟我们无关的古怪部分。有兴趣的话……可以看拉东–尼科迪姆定理（数学开始有点复杂了，不过理解这个定理对后文完全不是必需的，我只是顺带提一句）。

从现在起，我可能会把积分不等于 1 的函数也叫作“密度”。这是用词不严谨！但想法是一样的：用一个函数来表示分布中（绝对）连续的那一部分。

好，不去纠缠复杂的细节……这里除了描述原子之外概率的密度，还要保留原子本身以及它们对应的概率。并且在往组合里加入新元素时，把这些信息传递下去。

举个例子：两次火花，带 400 点力量，对手有 60 点固定护盾（百分比护盾为 0）。 没有护盾时，一次火花会造成 40 到 80 点伤害，用下面这个矩形表示 !400力量下的1次火花

但加上 60 点固定护盾后，伤害减少 60，矩形因此向左平移 60。而伤害不能为负：矩形的左半部分就被“压”到了 0 这个值上。于是得到的概率由两样东西表示：

• 造成 0 点伤害的概率是 0.5
• 否则，概率由平移后再从左边截断的矩形所对应的部分密度给出，它的积分为 0.5，我把它记作 f：

!400力量60固定护盾下的1次火花

加上第二次火花。这时要分几种情况：

• 第一次火花打出 0（概率 0.5）；第二次也可能打出 0，概率相同：因此总共打出 0 的概率是 0.5 * 0.5 = 0.25；
• 第一次火花打出 0；第二次可能没打出 0：这时概率由矩形 f 乘以 0.5（第一次火花打出 0 的概率）表示，它的积分为 0.25；
• 第一次火花没有打出 0（于是由前面那个矩形表示），而第二次打出 0：给第一次火花的伤害加上 0 不会有任何变化，于是又得到矩形 f 乘以 0.5（第二次火花打出 0 的概率），积分同样是 0.25；
• 最后，两次都可能没打出 0，这时就是矩形 f 与自身的卷积，它的积分为 0.25。

于是我们保留下来的信息是：

• 造成 0 点伤害的概率是 0.25；
• 否则，概率由得到的那三个（部分）密度之和决定（这三个的积分都是 0.25，所以和的积分是 0.75，正好补上伤害为零的那 0.25），也就是：

!400力量60固定护盾下的2次火花

可以注意到，得到的函数并不连续。这和没有原子的情形不同：那时每加一件物品，函数的光滑程度就会提高，而现在这已经不是必然的了！

0 处的狄拉克分布

从数学上说，可以用一个奇怪的工具来表示这个对象：0 处的*狄拉克分布*，记作 δ。它是这样一个对象（不可能是函数……）：除了 0 以外处处为 0，而积分等于 1。我不在这里做严格定义，但有了这个“分布”，就能给“打出 0 的概率”这个概念一套更完备的形式：可以说这个概率由 0.25δ + g 表示（其中 g 就是上面画的那个函数）。

这个狄拉克分布有一条对卷积非常有用的性质：对任意函数 h，总有 δ * h = h * δ = h。

于是前面那四种情况可以归结成一个公式： !狄拉克的卷积 其中确实出现了打出 0 的概率 0.25，同时也得到了一个计算其余情况对应函数的简单公式。

注意，在计算一套组合的伤害概率时，只要你加进一件不可能打出 0 的物品，打出 0 点伤害的概率就消失了（很合理，不是吗？）。因此，只有在加入这样一件物品之前才会有 δ 项，之后就只剩下一个真正的密度（积分为 1）了。

固定伤害物品与暴击：其他位置的原子

还有一种情形会让某个确切数值的概率不为零：固定伤害的物品（在我写这篇文章时是武士刀、非法榴弹发射器、恶魔打击和惩戒）。

没有暴击机会时，可以用一个相当简单的办法：算出所研究组合的固定伤害，再把其他物品得到的密度函数平移这么多即可。但暴击概率让这个办法失效了，因为“固定”伤害其实不再固定（有两个可能取值）……于是我们就有了两个原子。

暴击与原子

一种做法是，每加入一件固定伤害的物品，就分两种情况：

• 如果这件物品没有暴击，就加上 k 点伤害：为此把之前的密度向右平移 k，同时也平移已有的那些原子；
• 如果这件物品打出暴击，就同样地加上 CRITICAL_FACTOR * k；

然后把这样得到的两个概率分布按暴击概率加权求和。

因此要能处理两个可能带原子的分布之和：结果分布会在任一分布原本有原子的所有点上都有原子。

举个例子，好看得更清楚：火花 + 武士刀的组合，400 点力量、400 点敏捷（因此暴击概率为 0.4），目标韭葱有 50 点固定护盾。

• 第一件物品：
• 没有暴击时，火花造成 40 到 80 点伤害，扣除护盾后是 0 到 30，其中打出 0 的概率为 0.25，否则是一个从 0 到 30、高度 0.025 的矩形 f。
• 暴击时，火花造成 52 到 104 点伤害，扣除后是 2 到 54，用一个从 2 到 54、高度 1/52 的矩形 g 表示。
• 按暴击概率加权求和，得到打出 0 的概率为 0.6 * 0.25 = 0.15，否则是函数 h = 0.6f + 0.4g。

!带暴击和固定护盾的火花

• 第二件物品：
• 没有暴击时，武士刀造成 385 点伤害，扣掉 50 后为 335。既然之前打出 0 点伤害的概率是 0.15，那么这种情况下打出 335 的概率就是 0.15，否则概率由函数 h 平移 335 后描述。
• 暴击时，武士刀造成 500.5 点伤害，扣掉 50 后为 450.5。这种情况下打出 450.5 点伤害的概率是 0.15，否则概率由 h 平移 450.5 后描述。
• 把这两种情况按暴击概率加权求和：打出 335 的概率为 0.15 * 0.6 = 0.09，打出 450.5 的概率为 0.15 * 0.4 = 0.06，其余情况下的伤害概率则由 h 的相应平移加权求和来描述……结果如下：

!带暴击和固定护盾的火花+武士刀

因此，这套组合对应的概率分布里有两个原子。如果再加第三件物品，就要分三种情况：

• 火花 + 武士刀打出 335（第一个原子，概率 0.09），
• 火花 + 武士刀打出 450.5（第二个原子，概率 0.06），
• 火花 + 武士刀打出别的数值（“密度”）。

任意一点处的狄拉克分布

同样，可以用放在合适位置的狄拉克分布把这件事形式化：位于点 a、概率为 p_a 的原子，可以表示成 a 处的一个狄拉克峰，按概率 p_a 加权，记作 p_a δ_a。

前面的计算于是可以这样写：

• 火花有 0.15 的概率造成 0 点伤害，否则其分布由函数 h 表示：于是它的分布可以记作 0.15 δ_0 + h；
• 武士刀可能暴击也可能不暴击，因此造成的伤害要么是 335（1 - 暴击概率：0.6），要么是 450.5（暴击概率：0.4），所以它的分布可以表示为 0.6 δ_(335) + 0.4 δ_(450.5)。

于是这套组合的分布为： !火花+武士刀带暴击和固定护盾的计算

而与位于点 a 的狄拉克峰做卷积，相当于向右平移 a。于是我们确实得回了前面算出的那个概率分布。

在 LS 中的计算

如果你已经写好了卷积，最难的部分照理说已经做完了。这里只需要再加一层：概率分布不再只用一个分段多项式函数表示，而是在这样一个函数之外，再加上一组原子及其对应的概率。

所以要写的，就是一套记录这些原子的办法，再加上一个把原子考虑在内的卷积函数：它要分几种情况处理（原子 * 原子、原子 * 密度、密度 * 原子、密度 * 密度），然后把得到的各个分布相加。

有了你已经写好的那些工具——按给定向量平移函数、两个密度的卷积、分段多项式函数求和——你应该能搞定。

分布函数

至此我们有了办法，把一个随机变量（它表示造成的伤害）的概率分布，写成一组原子加上一个“密度”函数的形式（说“密度”其实不太准确，它的积分是 1 减去各原子的概率，更确切的说法是：它是一个有密度的分布与一个离散分布的线性组合……这里就不深究了）。

在此基础上可以提取好几种信息。前面说过，有密度时，造成 a 到 b 点伤害的概率由密度在 a 到 b 上的积分给出。而这里有了原子，就要把“密度”在 a 到 b 上的积分，与位于 a 和 b 之间的那些原子的概率加起来。

与其反复计算积分，不如算出这个分布的所谓分布函数

定义与计算

> 随机变量 X 在 R 上的概率分布的分布函数，是这样一个函数：它给每个数 x 对应变量 X 取到小于 x 或等于 x 的值的概率。 也就是说：!分布函数的定义

如果一个概率分布由密度 D 给出，那么分布函数就是 D 的那个在 -无穷处极限为 0 的原函数。 > 给爱较真的数学党：好吧……严格意义上它并不是原函数。如果密度是一个矩形，分布函数在整个 R 上并不可导，所以它算不上原函数……

如果概率分布既有“密度”又有原子，就要分几步进行：

• 计算密度的原函数，或者更确切地说 !分布函数的计算，其中 a 是这个概率分布可能取值的最小值；
• 计算一个对应原子的阶梯函数：它给每个 x 对应所有小于 x（或等于 x）的原子的概率之和；
• 把这两个函数加起来。

举个例子，用前面那套火花 + 武士刀的组合，我们有一个函数 D： !带暴击和固定护盾的火花+武士刀 以及两个原子，一个在 335 处、概率 0.09，另一个在 450.5 处、概率 0.06。 于是分布函数由下面两部分构成：

• 函数 D 的“原函数”
• 在 335 到 450.5 之间取值 0.09、在 450.5 到 504 之间取值 0.09 + 0.06 = 0.15 的那个函数

!火花+武士刀的分布函数1

• 然后把这两个函数加起来

!火花+武士刀的分布函数2

用法

有了分布函数，就能相当容易地算出一些有用的概率。如果 F 是某个概率分布的分布函数，那么： !由分布函数得到的概率

因此，把这个函数用符号计算求出来，就不必每次需要一个概率时都去算积分了。

备注

用得到的分布去计算伤害的期望，是白白把事情搞复杂了：整套组合伤害的期望，就是各件物品单独期望之和。

同样，由于使用物品时的各次取值是相互独立的，标准差可以直接由各件物品的标准差 s1、s2、…… 用公式 s = sqrt(s12 + s22 + ...) 算出

所以掌握这个分布的价值，并不在于计算这些指标。

___ ___ 注：插图是用 Geogebra 软件制作的。 ___ 参考文献：

Philippe Barbe 与 Michel Ledoux，Probabilité，EDP Sciences（2007）

如果你的数学底子已经很好，这里有一本测度论的经典参考书（提醒一下，它有点硬）： Walter Rudin，Analyse réelle et complexe，Masson 出版（1975、1977）或 Dunod 出版（1998） 英文版： Walter Rudin，*Real and complex analysis*，McGraw-Hill（1987）